Der grundlegende Beitrag, den wir für unsere Gemeinschaft leisten können, besteht darin, nicht die allgemeine Unbewusstheit der Zeit zu vergrößern.

Thomas Moore: Fenster zur Seele, S161

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1. Chaos erzeugende Systeme

Chaos kann durch dynamische, nichtlineare Systeme erzeugt werden. Im besonderen sind dies Differentialgleichungssysteme mit mindestens drei Freiheitsgraden und umkehrbare, diskrete Zeitfunktionen mit mindestens zwei³ Freiheitsgraden (1). Entsprechend wird auch von kontinuierlichen und zeitdiskreten Dynamiken gesprochen, die chaotisches Verhalten aufzeigen.

Als Chaos erzeugende gelten somit Differentialgleichungssysteme der Form (1):

$\displaystyle \frac{dx(t)}{dt}$	=	F(x(t))
		mit drei oder mehr Freiheitsgraden
x(t)	=	$\displaystyle [x_{1}(t), x_{2}(t), x_{3}(t),\ldots, x_{d}(t)]$	(1)

Die Anzahl der Freiheitsgrade ist mit der Anzahl der zur Systemdarstellung benötigten gewöhnlichen, autonomen Differentialgleichungen erster Ordnung gleich zu setzen.

Oder auch zeitdiskrete Iteratorfunktionen der Form:

x(k+1)	=	F(x(k))
		mit zwei oder mehr Freiheitsgraden
x(k)	=	$\displaystyle [x_{k}(k), x_{2}(k),\ldots, x_{d}(k)]$	(2)

Hier kann die Anzahl der Freiheitsgrade direkt an der Anzahl der Komponenten des Zustandsvektors x(k) abgelesen werden (siehe auch Fußnote 1).

Weitere Analysen zur nötigen Anzahl der Freiheitsgrade, die ein dynamisches System benötigt um chaotisches Verhalten zu erfahren sind in der Literatur zu finden (1).

Wenn im weiteren Verlauf der Arbeit der Hauptaugenmerk auf der praktischen Anwendung der Chaostheorie auf experimentelle Meßdaten liegt, so wird, im Gegensatz zu den rein mathematischen Beispielen kein Zugriff mehr auf die Differentialgleichungen des Systems möglich sein. Es wird also nötig sein den kontinuierlichen Fluß aus Gleichung 2.1 durch ein zeitdiskretes Äquivalent, nämlich die Abtastung des Systems mit einer endlichen Zeit t_s zu beschreiben. Für den kontinuierlichen Fluß

$\begin{displaymath}\frac{dx(t)}{dt}=F(x(t)) \end{displaymath}$

(3)

läßt sich schreiben

$\begin{displaymath} \frac{x(t_{0}+(n+1)t_{s}) - x(t_{0}+n t_{s})}{t_{s}} \approx F(x(t_{0}+n t_{s})) \end{displaymath}$

(4)

und aus den kontinuierlichen Beobachtungen x(t) wird:

x_n(t₀+k t_s)	$\textstyle \mapsto$	x_n(t₀+(k+1) t_s),
x_n(k)	$\textstyle \mapsto$	x_n(k+1)	(5)

Liegt nur eine zeitdiskrete Observable vor, so ist es durchaus möglich aus der abgetasteten Version der Observablen zu ermitteln, ob sie ursprünglich aus einem System von kontinuierlichen Differentialgleichungen stammt, oder ob sie das Ergebnis einer diskreten Zeitfunktion, nämlich einer Iteration ist. Das kontinuierliche System wird sich dadurch auszeichnen, daß immer ein Lyapunov Exponent gefunden werden kann der Null ist, während dies für Iterative Systeme nicht zutrifft.

Footnotes

... zwei ³: Eine Ausnahme stellen hierzu die nicht invertierbaren eindimensionalen Funktionen, wie z.B. die ,,Logistic Map`` $x \mapsto rx(1-x)$ dar, die auch chaotisches Verhalten zeigen können. Dies jedoch mehr im Sinne einer fraktalen Menge, da im eindimensionalen Fall nicht von einem ,,echten``Phasenraum gesprochen werden kann.

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Torsten Ziegler

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