2. Grundlagen der Chaostheorie

Grundlage dieser Diplomarbeit ist das Verständnis der Chaostheorie. Darum soll in diesem Kapitel eine kurze Einführung in diese Theorie geboten werden. Hier können nur die wichtigsten Begriffe erläutert werden, die für das Verständnis der später dargelegten Algorithmen notwendig sind. Für eine umfassende Einführung sei auf die Literatur verwiesen (1; 2; 21; 22; 28; 29; 33).

Die Chaostheorie   als relativ neue Ausprägung der Mathematik erfuhr ihren inflationären Aufschwung mit dem Fortschreiten der Computertechnik. Während bisher in jedem Gebiet der Mathematik immer ein Axiomensystem Grundlage war, auf dem mittels logischer Schlußfolgerung aufgebaut und Erkenntnisse gezogen werden konnten, hat sich dies in der Chaostheorie, zumindest teilweise, verändert. Das Gebiet der Fraktale und der Chaostheorie ist stark von Ergebnissen geprägt, die Computersimulationen, vornämlich Iterationsvorgänge, vor Augen führen. Aus Vermutungen, die über die Ergebnisse aufgestellt wurden, kam man schließlich zum mathematischen Axiomensystem, das die Natur der Sache darstellt. Insofern ist dieser Zweig der Mathematik sehr mit der Vorgehensweise der Physik vergleichbar, an deren Ursprung auch das Experiment steht und deren Ziel die Erklärung desselben ist (28).

Viele Begriffe aus der fraktalen Geometrie   gehen auf mathematische Konstrukte aus dem 19. und 20. Jahrhundert zurück. Aus dem Versuch zu gewissen Begriffen der Analysis pathologische Gegenbeispiele zu konstruieren gingen die fraktalen Punktmengen hervor, wie zum Beispiel die Cantor-Mengen und Sierpinski-Kurven. und zu deren Beschreibung wurde alsbald der Begriff der Dimension benutzt.

Die Definition von Chaos  gestaltet sich schwierig und die Literatur findet keine allgemeingültige Antwort auf die Frage danach (3; 33). Als klar definiert gelten jedoch die Fälle, in denen kein Verhalten vorliegt, das dem der Chaostheorie zugrundeliegendem deterministischen Chaos   entspricht.

Zum einen ist dies die Klasse der vorhersehbaren Signale, die regelmäßige, periodische oder quasiperiodische Form haben (27). Sie sind das Subjekt der bekannten Signalanalyse.

Das Gegenteil dieser vollständig deterministischen Signale bildet das Rauschen, der stochastische Prozeß, der keine Vorhersage zuläßt.

Die chaotischen Signale, mit denen sich die Chaostheorie beschäftigt, liegen in ihrer Eigenschaft zwischen diesen beiden Extremen. Sie sind unregelmäßiger Natur in ihrem Zeitverhalten und lassen eine Vorhersage nur innerhalb eines sehr kurzen Zeithorizontes zu. Sie haben jedoch eine bestimmte Struktur im Phasenraum, aufgrund deren diese Art von Signalen auch als deterministisches Chaos bezeichnet wird.

• 1. Chaos erzeugende Systeme
• 2. Räumliche Korrelation
  • 1. Phasenraumdarstellung dynamischer Systeme
• 3. Phasenraumrekonstruktion
  • 1. Hintergrund des Einbettungstheorems
  • 2. Wahl der Zeitverzögerung
    • 1. Korrelationsfunktionen
    • 2. Geometrische Betrachtung
  • 3. Wahl der Einbettungsdimension d_E
• 4. Deterministisches Chaos
  • 1. Sensitivität, Lyapunov Exponenten
  • 2. Fraktale Dimension