2. Dimensions Berechnung

Ziel der Dimensionsberechnung  ist es räumliche Skalierungseigenschaften eines Attraktors im Phasenraum zu analysieren. Untersucht wird dabei die Anzahl der Attraktorpunkte, die in einem gewissen Abstand um einen ausgewählten Punkt herum vorhanden sind. Aus diesem Skalierungsverhalten kann theoretisch im Grenzübergang der Abstände gegen Null die Dimensionalität berechnet werden, wie in Kapitel 2.4.2 gezeigt. In der praktischen Anwendung benutzt man zur Bestimmung der Dimensionsmaße jedoch nicht den Grenzübergang gegen Null, der zu numerischen Problemen führen würde. Vielmehr versucht man aus dem Diagramm des Dimensionsmaßes einen wahrscheinlichen Wert für die Dimension abzulesen. Trägt man das Dimensionsmaß über auf, so ergibt sich in einem bestimmten Bereich von r (siehe Gleichung 2.29) ein Geradenstück, dessen Steigung die Dimension darstellt (34). In allen Algorithmen der Dimensionsbestimmung tritt das Problem auf, dieses Geradenstück zu analysieren. In der Literatur findet sich oft die Vorgehensweise, daß der beste Bereich zur Dimensionsbestimmung vom Benutzer selbst ermittelt werden muß (7). Darum wird im folgenden ein Algorithmus vorgestellt, der diese Dimensionsschätzung automatisiert.

• 1. Schätzung der Dimension
• 2. Box Counting Dimension D₀
• 3. Verallgemeinerte Rényi Dimensionen D_q
  • 1. Hausdorff Dimension und Box Dimension
  • 2. Informations Dimension
  • 3. Korrelations Dimension
  • 4. Die Rényi - Exponenten
  • 5. Schnelle Berechnung aller Rényi Dimensionen mittels der Box Counting Methode
• 4. Korrelationsdimension D₂