Begriffe

Im folgenden finden sich kurze Erklärungen zu Begriffen der Chaostheorie, die im Laufe dieser Arbeit häufiger benutzt werden. Zum Großteil werden sie in späteren Kapiteln noch genauer definiert, dieser grobe Überblick kann jedoch dem schnelleren Einstieg in das Thema der Chaostheorie dienen.

Attraktor :

Ein Attraktor bezeichnet einen Schwingungsendzustand. Häufig zeigen Trajektorien dynamischer Systeme ein transientes Verhalten (Einschwingvorgang), dem asymptotisch ein Schwingungsendzustand, ein sogenannter Attraktor, folgt. Attraktoren können zum einen geschlossene Kurven, sogenannte periodische Orbits sein, oder sie können eine sehr komplizierte, fraktale Struktur aufweisen. Diese heißen dann seltsame Attraktoren und sind typisch für Systeme die deterministisches Chaos zeigen.

BDS Statistik :

Die BDS-Statistik beschreibt das Verhalten des räumlichen Korrelationsintegrals in höheren Dimensionen. Die Hauptaussage ist, daß für Signale die aus linearen Systemen entspringen das Korrelationsintegral nicht gegen einen Grenzwert geht.

Box Dimension:

  Dimension die der geometrischen Anschauung entspringt den Attraktor im Phasenraum mit Hyperwürfeln zu überdecken. Durch abzählen der vom Attraktor belegten Würfel entsteht ein Maß, das der Boxdimension entspricht. (Siehe auch fraktale Dimension.)

Deterministisches Chaos:

  Signale, die sich zwischen den regelmäßigen, periodischen oder quasiperiodischen Signalen und dem statistischen Rauschen bewegen. Deterministisches Chaos zeichnet sich durch ein unregelmäßiges Zeitverhalten, aber durch eine definierte Struktur im Phasenraum aus. Systeme die deterministischem Chaos entspringen weisen einen positiven Lyapunov Exponenten auf.

Dimensionalität :

Die Dimensionalität beschreibt das Verhalten von Attraktorpunkten im Phasenraum. Sie wird bestimmt durch das Verhältnis der Anzahl der Punkte in einem Volumen zum Inhalt des betrachteten Volumens.

Einbettungstheorem :

Das Einbettungstheorem besagt, daß aus einer eindimensionalen Observablen die n-dimensionale Phasenraumdarstellung des System aus dem sie entspringt, bis auf eine topologische Abbildung wieder hergestellt werden kann.

Fraktale Dimension:

  Zum einen wird eine Dimensionalität mit gebrochenem Wert als fraktale Dimension bezeichnet. Zum anderen wird auch die Box Dimension als fraktale Dimension bezeichnet und entspricht dem Sonderfall der Rényi Dimension nullter Ordnung.

Lyapunov Exponenten :

  Charakteristische Exponenten die das Verhalten beschreiben, daß jede noch so kleine Änderung des Ausgangszustandes eines Systems im Laufe der Zeit exponentiell verstärkt wird. Man spricht auch davon, daß das System sensitiv von den Anfangsbedingungen abhängt. Ein positiver Lyapunov Exponent wird allgemein als der Beweis für deterministisches Chaos angesehen.

Nächste Nachbarn:

  Als nächste Nachbarn werden Punkte bezeichnet, die sich im Phasenraum in unmittelbarer räumlicher Nähe zueinander befinden. Meist wird eine Kugel mit vorgegebenem Durchmesser um einen Punkt gelegt um die nächsten Nachbarn zu bestimmen.

Phasenraum :

Die Menge aller Zustände, in denen sich ein System befinden kann definiert den Phasenraum eines Systems. Für gewöhnlich wird die Phasenraumdarstellung aus den unabhängigen Variablen eines Systems aufgestellt. (Siehe auch: Einbettungstheorem.)

Phasenraumrekonstruktion :

Die Phasenraumrekonstruktion ist der Vorgang, bei dem aus einer skalaren Observablen mittels Zeitverschiebungen ein Phasenraum rekonstruiert wird. (Siehe auch: Einbettungstheorem.)

Räumliches Korrelationsintegral:

  Das räumliche Korrelationsintegral beschreibt die Anzahl an Punkten, die innerhalb eines Volumenelementes im Phasenraum liegen. Es ist Grundlage der Dimensionsbestimmung.

Recurrence Plot :

Eine relativ neue Methode, welche die räumliche mit der zeitlichen Korrelation verknüpft. Im Phasenraum nahe Punkte werden dabei gemäß ihres zeitlichen Abstandes in ein Diagramm eingetragen. Der Recurrence Plot ist in der Anwendung nicht an die Chaostheorie gebunden.

Rényi Dimensionen:

  Verallgemeinerung des Dimensionsbegriffs. Die Arbeit von Rényi bezog sich ursprünglich auf die Statistik und wurde erst später auf die Chaostheorie angewandt.

Seltsamer Attraktor:

  Attraktor mit fraktaler Dimension, wie er typisch für chaotische Systeme ist.

Surrogate Data :

Die Methode des Surrogate Data ist ein Nullhypothesentest. Hierbei werden Daten erzeugt, die mit den zu analysierenden Daten wesentliche Eigenschaften gemein haben, sonst jedoch einer gewählten Nullhypothese entsprechen. Durch Analyse der Originaldaten und der Surrogate Daten wird die Signifikanz eines Ergebnisses bestimmt.