Der grundlegende Beitrag, den wir für unsere Gemeinschaft leisten können, besteht darin, nicht die allgemeine Unbewusstheit der Zeit zu vergrößern.

Thomas Moore: Fenster zur Seele, S161

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1. Korrelationsfunktionen

Einer der ersten Ansätze zur Bestimmung der besten Zeitverzögerung $\tau$ war es die lineare Autokorrelationsfunktion A(t) zu benutzen, um eine Unabhängigkeit der Komponenten in Gleichung 2.14 zu erreichen. Für eine zeitdiskrete Meßserie x(k) mit N Meßzeitpunkten ergibt sich die Autokorrelationsfunktion mit der diskreten Zeitverschiebung T zu (1):

A(T)	=	$\displaystyle \sum_{k=1}^{N} [x(k) - \bar x][x(k+T) - \bar x]$	(17)
$\displaystyle \bar x$	=	$\displaystyle \frac{1}{N} \sum_{k=1}^{N}x(k)$	(18)

Die Wahl von $\tau$ als dem ersten Nulldurchgang der Autokorrelationsfunktion stellt die optimale Wahl dar, falls das gemessene Signal linearen Ursprungs ist und die Variablen unabhängig sein sollen. Es ist die beste Wahl im Sinne einer linearen Optimierung der Vorhersage des Signals in Bezug auf den minimalen mittleren quadratischen Fehler. Was allerdings eine solche lineare Optimierung für nichtlineare Prozesse zu bedeuten hat läßt sich nicht genau sagen.

Allgemeingültigkeit hat jedoch Shannons Theorie der Transinformation , die in ihrer Aussage nicht auf lineare Signale beschränkt ist. Die Transinformation I(a_i, b_j) zwischen einer Messung a_i, die aus der Menge $A=\{a_{i}\}$ stammt und einer Messung b_j, die aus einer Menge $B=\{b_{j}\}$ stammt ist die Menge an Information, die durch Kenntnis von a_i über b_j erlangt wird (1). Gemessen in Bit ergibt sich die Formel

$\begin{displaymath}I(a_{i}, b_{j}) = \log_{2} \left[ \frac{P_{AB}(a_{i}, b_{j})}{P_{A}(a_{i})P_{B}(b_{j})} \right] \end{displaymath}$

(19)

wobei P_AB(a,b) die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Messungen A und B ist. P_A(a) und P_B(b) sind jeweils die Einzelwahrscheinlichkeiten für die Messungen A und B. Sind die zwei Messungen a_i und b_j vollständig unabhängig voneinander, so wird P_AB(a,b) gemäß der Rechenregeln der Stochastik zu P_AB(a,b)=P_A(a)P_B(b) und die Transinformation zwischen den beiden Messungen wird zu Null. Für abhängige Messungen gilt entsprechend P_AB(a,b)<P_A(a)P_B(b). Das Mittel über alle Meßwerte ergibt die durchschnittliche Transinformation I_AB zwischen den Messungen A und B, wobei die einzelnen Informationen mit ihrer Auftretenswahrscheinlichkeit P_AB(a_i,b_j) normiert werden.

$\begin{displaymath}I_{AB} = \sum_{a_{i},b_{j}} P_{AB}(a_{i}, b_{j}) \log_{2} \left[ \frac{P_{AB}(a_{i}, b_{j})}{P_{A}(a_{i})P_{B}(b_{j})} \right] \end{displaymath}$

(20)

Diese Funktion stellt eine Aussage über theoretische Mengen dar und ist nicht an eine bestimmte Art von Meßwerten oder ihnen zu Grunde liegende Prozesse gebunden. Darum ist sie besonders zur Beurteilung der Unabhängigkeit von Meßwerten geeignet, deren Ursprung nicht genauer bestimmt ist. Angewandt auf eine Menge A von Meßwerten x(k) und die zeitverschobene Version B der Meßwerte x(k+T) ergibt sich die Transinformation I(T), die aussagt wieviel über die Zeitverschobene aus ihrer Originalserie gelernt werden kann, zu:

$\begin{displaymath} I(T) = \sum_{x(k),x(k+T)} P(x(k),x(k+T))\log_{2} \left[ \frac{P(x(k),x(k+T))}{P(x(k)) P(x(k+T))} \right]. \end{displaymath}$

(21)

Wie Gallager⁶ zeigte gilt $I(T) \geq 0$ und für große Zeiten von T wird I(T) gegen Null gehen. Die Anwendung der Transinformation zur Ermittlung der optimalen Zeitverzögerung T geht auf eine Arbeit von Fraser (17) zurück. Sein vereinfachter Vorschlag war es das erste Minimum der Transinformation als geeignete Wahl für Tanzunehmen. Eine genauere Betrachtung müßte die Berechnung der Transinformation in höheren Dimensionen einschließen, welche die Information berechnet, die wir durch eine neue Komponente des Phasenraumes über das vollständige Signal erhalten. Für die praktische Anwendung ist jedoch die einfache Wahl des ersten Minimums ausreichend, dies geschieht auch in Anlehnung an das linearen Äquivalent, nämlich dem ersten Nulldurchgang der Autokorrelationsfunktion (1).

Praktisch werden die Wahrscheinlichkeiten, die zur Berechnung der Transinformation nötig sind aus Histogrammen der Observablen berechnet. Dabei stellen sich natürlich weitere Fragen, wie zum Beispiel die nach der optimalen Wahl der Skalierung des Histogramms und die aktuelle Berechnung der Transinformation, auf die in einem spätere Teil dieser Arbeit eingegangen wird (siehe 6.1.1).

Footnotes

... Gallager ⁶: R.G. Gallager: Information and Reliable Communication. John Wiley and Sons, New York 1968

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Torsten Ziegler

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