Der grundlegende Beitrag, den wir für unsere Gemeinschaft leisten können, besteht darin, nicht die allgemeine Unbewusstheit der Zeit zu vergrößern.

Thomas Moore: Fenster zur Seele, S161

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1. Phasenraumdarstellung dynamischer Systeme

Grundlage zur Untersuchung der räumlichen Korrelation von Meßwerten stellt die Phasenraumdarstellung dar.

Der Phasenraum wird definiert durch die Menge aller Zustände, in denen sich ein System befinden kann. Im Allgemeinen ist dies eine Mannigfaltigkeit $\mathcal{M}$ , oft eine Teilmenge des $I\!\!\!\!R^{n}$ . Die Gleichung 2.1 beschreibt das Verhalten des Systems im Phasenraum und mit

$\begin{displaymath}\dot X=v(X), \qquad X \in \mathcal{M} \end{displaymath}$

(6)

wird das Vektorfeld v(X) definiert. Dieses Vektorfeld erzeugt den Fluß $\phi$ auf dem Phasenraum $\mathcal{M}$ , der die zeitliche Entwicklung der verschiedenen Zustände $x \in \mathcal{M}$ des dynamischen Systems beschreibt (22).

$\displaystyle \phi: \mathcal{M} \times I\!\!\!\!R$	$\textstyle \to$	$\displaystyle \mathcal{M}$
(X,t)	$\textstyle \mapsto$	$\displaystyle \phi(X,t)$	(7)

Als Flußabbildung $\phi^{t}:= \phi\vert _{M \times \{t \}}$ wird die Abbildung

$\displaystyle \phi^{t}: \mathcal{M}$	$\textstyle \to$	$\displaystyle \mathcal{M}$
X	$\textstyle \mapsto$	$\displaystyle \phi^{t}(X) = \phi(X,t)$	(8)

bezeichnet. Wenn $x \in \mathcal{M}$ der Zustand des Systems zum Zeitpunkt t=0 ist, dann repräsentiert $\phi^{t}(X)$ den Zustand zur Zeit t. Die Bahn, die ausgehend von $X \in \mathcal{M}$ durchlaufen wird, heißt Trajektorie oder Orbit $\gamma(X)$ und ist definiert als (27):

$\begin{displaymath}\gamma(X) = \{\phi^{t}(X): t \in I\!\!\!\!R\} \end{displaymath}$

(9)

Um das Verhalten von Punkten, die sich in unmittelbarer Umgebung einer von $X \in \mathcal{M}$ ausgehenden Trajektorie befinden, zu untersuchen betrachtet man die Jacobi Matrix. Sie stellt die $n \times n$ Matrix der partiellen Ableitungen des Vektorfeldes v dar.

$\displaystyle \left(\frac{\delta v_{j}}{\delta X_{k}}\right) \qquad (j=1,\ldots,n;k=1;\ldots,n)$

(10)

Die Jacobi-Matrix $J(\phi^{t}(X))$ beschreibt die Zeitentwicklung kleiner Störungen lokal an der Stelle x (6):

$\begin{displaymath}\Delta \phi{t+\tau_{\Delta}}(X) = J(\phi^{t}(X)) \tau_{\Delta} \Delta \phi^{t}(X) \end{displaymath}$

(11)

Häufig zeigen Trajektorien dynamischer Systeme, die von einem Punkt $X \in \mathcal{M}$ ausgehen ein transientes Verhalten, dem asymptotisch ein Schwingungsendzustand, ein sogenannter Attraktor folgt. Als Attraktor $\mathcal{A}$ wird nun diejenige Grenzmenge bezeichnet, auf die eine Menge von verschiedenen Anfangswerten $x \in \mathcal{M}$ für $t \to \infty$ zulaufen, d.h. wenn gilt (22):

1.: Die Menge $\mathcal{A}$ ist invariant unter dem Fluß,
d.h. $\phi^{t}(X) \in \mathcal{A}, \enspace \forall\, X \in \mathcal{A}$
2.: $\mathcal{A}$ hat eine anziehende Umgebung $\mathcal{U} \neq \emptyset, \enspace \mathcal{U} \subset \mathcal{M}$ ,
so daß $\phi^{t}(X) \to \mathcal{A}, \enspace \forall\, X \in \mathcal{U} \enspace \textrm{und} \enspace t \to \infty$
3.: $\mathcal{A}$ kann nicht in invariante Untermengen zerteilt werden.

Attraktoren können zum einen geschlossene Kurven, sogenannte periodische Orbits sein, für die gilt, daß es zu jedem Punkt X auf dem Attraktor eine Zeit t₀ gibt, so daß gilt:

$\displaystyle \phi^{t_{0}}(X)$	=	x
$\displaystyle \phi^{t}(X)$	$\textstyle \neq$	$\displaystyle x \qquad \forall \enspace 0<t<t_{0}$	(12)

Zum anderen gibt es Attraktoren, die eine sehr komplizierte, fraktale Struktur aufweisen. Diese sogenannten seltsamen Attraktoren sind wesentliches Merkmal der Chaostheorie und sollen im weiteren Verlauf dieser Arbeit Gegenstand der Betrachtung sein.

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Torsten Ziegler

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