Der grundlegende Beitrag, den wir für unsere Gemeinschaft leisten können, besteht darin, nicht die allgemeine Unbewusstheit der Zeit zu vergrößern.

Thomas Moore: Fenster zur Seele, S161

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2. Fraktale Dimension

Die fraktale Dimension ist charakteristisch für das geometrische Verhalten des Attraktors eines chaotischen Systems. Sie bezieht sich auf die Anordnung der Punkte des Attraktors im d_E-dimensionalen Raum. Liegt eine Punktwolke in $I\!\!\!\!R^d$ vor, wie im Fall eines Attraktors im Phasenraum, so läßt sich zu jedem Punkt auf dem Attraktor die Frage stellen wieviele benachbarte Punkte in einem bestimmten Umkreis zu finden sind.

Als Beispiel soll eine regelmäßige geometrische Figur, zum Beispiel eine Kugel im dreidimensionalen Raum, betrachtet werden. Da die Oberfläche der Kugel dicht mit Punkten besetzt ist wird sich für alle Punkte auf der Kugel folgendes zeigen (1): Die Anzahl der Punkte N(X,r) die in einem Volumen um den Punkt Xmit dem Radius r zu finden ist, im Beispiel ist dies ein Kugelabschnitt, folgt einer Funktion:

$\begin{displaymath}N(X,r) \sim r^{d(x)} \end{displaymath}$

(28)

Für das Beispiel der regelmäßigen Figur ergibt sich für alle Punkte X ein konstantes d(X)=D das die Geometrie und somit die Dimensionalität der Figur beschreibt. Diese Dimension D ist für gewöhnliche geometrische Mengen eine ganze Zahl.

Der betrachtete Bereich von r muß dabei kleiner den Abmessungen der betrachteten geometrischen Figur sein, da die Anzahl der Punkte im betrachteten Volumen durch die Gesamtzahl der Punkte in der Figur beschränkt ist.

Betrachtet man nun eine fraktale Menge im $I\!\!\!\!R^d$ , zum Beispiel den Attraktor eines chaotischen Systems, so wird sich zeigen, daß die Anzahl der Punkte N(X,r) die im Umkreis mit Radius r um den Punkt X liegen je nach betrachtetem Punkt schwankt. Es existiert also keine konstante Dimensionalität, sondern d(X) ist abhängig vom Ort X. Die Dimension d(X) wird deshalb als punktweise Dimension oder auch als lokale Dimension des Punktes x bezeichnet. Ein invariantes Maß der Dimension entsteht durch Gewichtung der lokalen Dimension mit dem natürlichen Maß p(X) aus Gleichung 2.26 und der Mittelung über den Attraktor.

Der Radius r unterliegt für fraktale Mengen und Attraktoren nicht nur einer oberen Grenze, die von der geometrischen Größe des Attraktors abhängt. Da die Punkte in einer fraktalen Menge nicht dicht liegen muß eine untere Grenze des Radius r nicht unterschritten werden da die Anzahl der Punkte innerhalb des betrachteten Volumens deutlich größer Null sein soll, um eine statistische Interpretation zu gewährleisten. In Abhängigkeit von der Größe des Attraktors R_Abetrachtet man somit r im Bereich

$\begin{displaymath} 0 \ll \frac{r}{R_{A}} \ll 1 \end{displaymath}$

(29)

und redet dann von einem ,,kleinen``r.

Sei N_A die Anzahl der Punkte im Attraktor und bezeichne X(k) mit $k=1,\ldots,N$ die Punkte auf dem Attraktor, so ergibt sich die Anzahl der Punkte, in einem Volumen des Radius r um den Punkt X₀ zu (1):

$\begin{displaymath} N(X,r)=\frac{1}{N_{A}}\sum_{k=1}^{N_{A}} \theta(r-\vert X(k)-X_{0}\vert) \end{displaymath}$

(30)

wobei $\theta (u)$ die Heaviside Funktion ist.

$\begin{displaymath}$ 0 \\ 0 \enspace \textrm{wenn } u < 0 \end{array} \right. \end{displaymath}">

(31)

Die Mittelung über alle Punkte X(n), $n=1,\ldots,N$ des Attraktors führt zu:

$\begin{displaymath}C(r)=\frac{1}{N_{A}}\sum_{n=1}^{N_{A}}\frac{1}{N_{A}}\sum_{k=1}^{N_{A}} \theta(r-\vert X(k)-X(n)\vert) \end{displaymath}$

(32)

Die Größe C(r) in Gleichung 2.30 wird als die räumliche Korrelationsfunktion oder auch als das (räumliche) Korrelationsintegral bezeichnet (20).

Da das natürliche Maß p(x) über den Attraktor nicht konstant ist mag es verschiedene Einsichten über das Verhalten der Dimensionalität zu Tage fördern, verschiedene Momente p(x,r)^q-1 zu betrachten. Darum wird die allgemeine räumliche Korrelationsfunktion in Anlehnung an die Arbeit von Rényi⁸ im Bereich der Statistik als

$\begin{displaymath} C(q,r)=\frac{1}{N_{A}}\sum_{n=1}^{N_{A}}\left[\frac{1}{N_{A}}\sum_{k=1}^{N_{A}} \theta(r-\vert X(k)-X(n)\vert)\right]^{q-1} \end{displaymath}$

(33)

definiert.

Für den Fall, daß die fraktale Dimension existiert ist sie für kleine r, im Sinne von Gleichung 2.29, definiert als

$\begin{displaymath} C(q,r) \approx r^{(q-1)D_{q}}. \end{displaymath}$

(34)

und berechnet sich entsprechend zu (1):

$\begin{displaymath} D_{q}=\lim_{r \to 0} \frac{\log[C(q,r)]}{(q-1)\log[r]} \end{displaymath}$

(35)

Die in Punkto q verschiedenen D_q bezeichnen dabei die Rényi Dimensionen der Ordnung q.

Charakteristisch für die Dimensionen D_q eines seltsamen Attraktors, d.h. des Attraktors eines chaotischen Systems, ist eine gebrochene oder fraktale Dimension D_q.

Zur Charakterisierung von seltsamen Attraktoren wurde das Korrelationsintegral zuerst von Grassberger und Procaccia für den Fall q=2 eingeführt (20).

Die Bedingung, daß die fraktale Dimension nach Gleichung 2.35 nur für den Grenzübergang $r \to 0$ definiert ist liegt darin begründet, daß dadurch die Dimension von der Wahl des Koordinatensystems unabhängig wird. Dadurch ist sie gegenüber Transformationen des Phasenraumes invariant. Betrachtet man allerdings das Verhalten eines Attraktors in einem fest gewählten Koordinatensystem, so kann es durchaus interessant sein nicht nur den Grenzübergang für $r \to 0$ zu vollziehen, sondern auch die gesamte Kurve von C(q,r) zu betrachten. Die Dimension D_q kann dann nicht nur aus dem Grenzübergang für $r \to 0$ berechnet werden, sondern aus einem längeren Kurvenstück. Geradenstücke, die sich aus dem Diagramm ergeben, in dem $\log[C(q,r)]$ gegen $\log[r]$ aufgetragen wird, bestimmen mit ihrer Steigung die Dimension, wobei es auf die absolute Normierung von C(q,r) nicht mehr ankommt.

Die Rényi Dimensionen D_q niederer Ordnung q werden entsprechend ihrer geometrischen Bedeutung mit bestimmten Namen bezeichnet (19; 22). So spricht man zum Beispiel von D₀ als der Box Dimension oder auch der Kapazität. Sie stellt die klare geometrische Motivation dar die Anzahl N(r) der Hyperwürfel einer Kantenlänge r zu ermitteln, die notwendig sind um alle Punkte des Attraktors im Phasenraum zu überdecken. (Genauer wird in Abschnitt 6.2.2 hierauf eingegangen.)

Die vereinfachte Formel dieser Dimension ist

$\begin{displaymath}D_{0}=\lim_{r \to 0} \frac{\log N(r)}{\log \frac{1}{r}} \end{displaymath}$

(36)

Für q=1 ergibt sich die Informations Dimension. Mit q=2 erhält man schließlich die schon beschriebene Korrelations Dimension D₂, höhere Ordnungen qder Dimensionen werden nur noch gemäß ihrer Ordnung beschrieben.

Footnotes

... Rényi ⁸: A. Rényi Probability Theory. North Holland, Amsterdam, 1970

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Torsten Ziegler

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