Der grundlegende Beitrag, den wir für unsere Gemeinschaft leisten können, besteht darin, nicht die allgemeine Unbewusstheit der Zeit zu vergrößern.

Thomas Moore: Fenster zur Seele, S161

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1. Hintergrund des Einbettungstheorems

Es stellt sich natürlich die Frage, wie es denn möglich ist aus einer skalaren Größe genügend Information zu erhalten um den möglicherweise recht komplexen Phasenraum eines m-dimensionalen Systems zu rekonstruieren.

Der Schlüssel hierzu ist die Tatsache, daß in einem nichtlinearen Prozeß alle Variablen im allgemeinen miteinander verknüpft sind. Typischerweise gibt es weder unabhängige Unterräume von Variablen, noch sind solche durch stetige Transformationen zu erzeugen. Zwei Meßwerte zu den Zeitpunkten t₀ und $t_{0}+\tau$ sind miteinander durch das Fortschreiten des dynamischen Systems um die Zeit $\tau$ verknüpft, während der alle im System vorhandenen Variablen die eine Observable beeinflussen. Der Meßwert $x(t_{0}+\tau)$ ist somit im allgemeinen eine komplexe, unbekannte und nichtlineare Verknüpfung aller Variablen im System. Ein anderer Ansatz für das Einbettungstheorem ist aus dem Studium von Differentialgleichungssystemen bekannt (1). Dabei ist der eingeschlagene Weg der, die Observable und ihre Ableitungen als unabhängige Variablen für die Phasenraumrekonstruktion anzusetzen. Die Phasenraumdarstellung ist also $X(t) = [x(t), \dot x(t), \ddot x(t), \ldots, \frac{d^{N}x(t)}{dt^{N}}]$ und die Näherungen der Ableitung haben bei einer Abtastzeit von t_s die Form

$\displaystyle \frac{dx(t)}{dt}$	$\textstyle \approx$	$\displaystyle \frac{x(t+t_{s})-x(t)}{t_{s}},$
$\displaystyle \frac{d^{2}x(t)}{dt^{2}}$	$\textstyle \approx$	$\displaystyle \frac{x(t+2\tau_{s})-2x(t+t_{s})+x(t)}{2t_{s}^{2}},$	(16)
$\displaystyle \vdots$

Offensichtlich entspricht die Information, die in jeder neuen Ableitung des Signals hinzukommt gerade der, die bei der Einbettung mittels zeitverschobenen Versionen der Observablen erhalten wird.

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Torsten Ziegler

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