Der grundlegende Beitrag, den wir für unsere Gemeinschaft leisten können, besteht darin, nicht die allgemeine Unbewusstheit der Zeit zu vergrößern.

Thomas Moore: Fenster zur Seele, S161

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3. Phasenraumrekonstruktion

In der experimentellen Situation, im besonderen im Fall der Untersuchung von biologischen Systemen, ist es meist nicht möglich die unabhängigen Variablen zu messen, die den konventionellen Phasenraum aufspannen.

Wird ein einzelnes Signal aus einem nichtlinearen System aufgenommen, so kann erwartet werden, daß sich in diesem Signal etliche Variablen des Systems niederschlagen. In einer skalar aufgenommenen Zeitserie eines Meßsignals wird somit eine Projektion der ursprünglichen Systemdynamik, die in einem Vektorraum höherer Ordnung stattfinden mag auf das eindimensionale Meßsignal sichtbar. Die skalare Zeitserie die jedem Zustand X im Phasenraum einen meßbaren reellen Wert p(X) zuordnet, wird auch Observable genannt.

$\displaystyle p: \mathcal{M}$	$\textstyle \to$	$\displaystyle I\!\!\!\!R$
X	$\textstyle \mapsto$	p(X)	(13)

Nun ist es möglich aus diesem eindimensionalen Signal mittels einer sogenannten Phasenraumrekonstruktion wieder ein höher dimensionales Signal zu machen. Dazu werden quasi unabhängige Variablen dadurch erzeugt, daß die eine vorhandene Observable zu verschiedenen Zeitpunkten betrachtet wird. Daß dies möglich ist bewies F. Takens et al. im Einbettungstheorem (11; 26):

Ist $\mathcal{M}$ eine Mannigfaltigkeit der Dimension m, dann ist die Menge $\mathcal{M'}$

$\displaystyle \mathcal{M'}$	:	$\displaystyle \{p(\phi^{kt_{s}}(x)), p(\phi^{kt_{s}+\tau}(x)), \ldots, p(\phi^{kt_{s}+2m\tau}(x)):$
		$\displaystyle \tau \in I\!\!\!\!R^{+} \backslash {0}, \enspace t_{s} \in I\!\!\!\!R^{+} \backslash {0}, \enspace k={0,1,2, \ldots,N: \enspace N \to \infty}\}$	(14)

wobei t_s die diskrete Abtastzeit und $\tau$ eine Zeitverschiebungskonstante darstellt, der ursprünglich für $kt_{s} \to \infty$ entstehenden Grenzmenge $\mathcal{M}$ diffeomorph äquivalent. Das heißt, daß $\mathcal{M}$ stetig in $I\!\!\!\!R^{2m+1}$ einbettbar ist, so daß beide Grenzmengen bijektiv aufeinander abgebildet werden können, falls die verwendeten Größen bestimmten generischen Voraussetzungen entsprechen. Diese Voraussetzungen sind vorallem, daß die Abtastfrequenz der Observablen nicht mit einer systeminternen Grundfrequenz zusammenfällt und somit Information verloren geht, so wie die Wahl der Zeitverzögerungskonstanten T so, daß die einzelnen Komponenten von Gleichung 2.14 unabhängig werden.

Diese topologische Beziehung zwischen dem ,,originalen``Phasenraum und dem zugehörigen rekonstruierten Phasenraum wird auch durch das Projektionstheorem von Mañé bestätigt (11).

Als Beispiel sei die skalare Zeitserie $\{x(t_{k})\}$ , mit $k \in K_{0}$ und $$K_{0}= \{k \in N_{0}; k<n_{dat}> gegeben. Wobei x die Beobachtungsvariable ist und Ndat die Anzahl der Datenpunkte. Dann sind die Vektoren im rekonstruierten Phasenraum gegeben durch: <div align=$

$\begin{displaymath}\mathbf{X}(t_{a}) = \left[ \begin{array}{c} x(t_{a}) \\ x(t_... ...tau) \\ \vdots \\ x(t_{a}+\tau(d_{E}-1)) \end{array} \right] \end{displaymath}$

(15)

mit t_a = s T_s und $s \in S_{0}$ für $S_{0} = \{s \in N_{0};s < N_{dat}-\frac{\tau}{T_{s}}(d_{E}-1)\}$ , wobei T_s die Abtastzeit und $\tau$ die Verzögerungszeit ist. Um sicher zu sein, daß diese Rekonstruktion auch eine Einbettung ist, d.h., daß eine topologische Abbildung des originalen auf den rekonstruierten Phasenraum existiert, muß die Einbettungsdimension mindestens d_E> 2m betragen, wobei m die Dimension⁴ des Flusses im originalen Phasenraum beträgt.

Unter der Voraussetzung, daß unendlich viele Datenpunkte zur Verfügung stehen kann die Zeitverzögerung $\tau$ weitgehend beliebig gewählt werden. Da im praktischen Fall jedoch nur eine beschränkte Anzahl von Datenpunkten zur Verfügung steht und diese oft noch zusätzlich mit Rauschen überlagert sind ist es nötig die Zeitverzögerung geschickt zu wählen. Wird $\tau=0$ gewählt, d.h den Achsen des Phasenraumes werden die identischen Werte zugewiesen, so ergibt sich als Attraktor im Phasenraum eine Gerade, die Hyperdiagonale des Phasenraumes. Entsprechend wirkt sich eine zu kleine Wahl von $\tau$ aus. Wählt man ein $\tau$ , das im Vergleich zur Orbitzeit zu kurz ist, so werden x(t) und $x(t+\tau)$ quasi linear abhängig. Die gesamte Dynamik spielt sich nur auf der Hyperdiagonalen des rekonstruierten Phasenraumes ab und weite Teile des Raumes bleiben ungenutzt, was nicht der originalen Phasenraumdarstellung entspricht. Dies wird in der folgenden Abbildung 2.1 verdeutlicht. Zu sehen ist dort der Lorenz Attraktor abgetastet mit einer Zeitkonstante von t_s=0.0005s und eine zweidimensionale Rekonstruktion der mit einer zu kleinen Zeitverschiebung von $\tau =0.0125s$ und einer korrekten Zeitverschiebung von $\tau =0.05s$ .

**Abbildung:** Original t_s=0.0005s
$\begin{figure} \centering\includegraphics{postscript/lorenz_0.0005.ps} \end{figure}$

**Abbildung:** Rekonst. $\tau =0.0125s$
$\begin{figure} \centering\includegraphics{postscript/lorenz_25.ps} \end{figure}$

**Abbildung:** Rekonst. $\tau =0.05s$
$\begin{figure} \centering\includegraphics{postscript/lorenz_100.ps} \end{figure}$

Wählt man die Verzögerungszeit $\tau$ zu groß, so erhält man ein anderes Bild. Jetzt wird zwar der rekonstruierte Phasenraum weitgehend ausgenutzt, der Attraktor wird jedoch gefaltet. Die Dynamik des Systems im ursprünglichen Phasenraum bewegt sich nun schneller, als dies im rekonstruierten Raum nachvollzogen werden kann, was bei folgenden Berechnungen zu Fehlern führen wird.

Diese Faltung kann am Beispiel des Henon Attraktors (siehe Abbildung 2.2) deutlich gesehen werden. Die korrekte zweidimensionale Rekonstruktion mit einem Iterationsschritt⁵ als Zeitverschiebung zeigt die gedrehte Darstellung (topologische Abbildung) des ursprünglichen Attraktors. Werden jedoch zwei Iterationsschritte als Zeitverzögerung benutzt, so wird der Attraktor im zweidimensionalen Raum gefaltet. In der Abbildung ist dies als eine Überschneidung der Trajektorie mit sich selbst sichtbar.

**Abbildung:** Original
$\begin{figure} \centering\includegraphics{postscript/hen.ps} \end{figure}$

**Abbildung:** Rekonst. T=1
$\begin{figure} \centering\includegraphics{postscript/hen_rec_ok.ps} \end{figure}$

**Abbildung:** Rekonst. T=2
$\begin{figure} \centering\includegraphics{postscript/hen_rec_notok.ps} \end{figure}$

Footnotes

... Dimension ⁴: Die Dimension m muß dabei keineswegs ganzzahlig sein, sondern sie kann die gebrochene Dimension eines seltsamen Attraktors sein. Die Dimension d_E hingegen muß eine ganze Zahl sein, um die Einbettung praktisch durchführen zu können. Für ganzzahlige m ergibt sich die in der Literatur auch gebräuchliche Formel $d_{E}\geq 2m+1$ .
... Iterationsschritt ⁵: Bei Iteratoren und zeitdiskreten Systemen wird im folgenden der Bezeichner T für die Zeitverschiebung benutzt. Er entspricht einem Iterationsschritt bzw. Zeitschritt.

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Torsten Ziegler

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